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可換環

数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、英: commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域

可換体

×) は群であり、乗法群と呼ばれる。K の乗法群をしばしば K× とも記し、Gm(K) と記されることもある。体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダバーンの小定理）。

可換図式

図式追跡（diagram chasing, diagram chase）とは、特にホモロジー代数において用いられる数学的証明の手法である。可換図式が与えられると、図式追跡による証明は、単射や全射あるいは完全列といった図式の性質の形式的な使用を伴う。三段論法が構成され、図式

可換環論

可換環論（かかんかんろん、英語：commutative algebra、commutative ring theory）は、その乗法が可換であるような環（これを可換環という）に関する理論の体系のこと、およびその研究を行う数学の一分野のことである。イデアルの概念がリヒャルト・デーデキントによって1870年代に導入されて、以後

非可換環

可換環にも適用できる。可換でない環の例をいくつか挙げる：実数上の n 次全行列環、ただし n > 1。ハミルトンの四元数。可換でない群と零環でない環から作られる任意の群環幾何学から生じる可除環を始まりとして、非可換環の研究は現代代数学の主要な分野に成長している。非可換環

可解群

が有限項で自明な部分群 1 に達することと定義もできる。ここで各 k ≥ 0 について G(k + 1) は G(k) の交換子部分群 [G(k), G(k)] である。可解群 G に対して G(n) = 1 となる最小の n ≥ 0 を導来列の長さ (derived length) という。任意の群 H とその正規部分群

可除群

であり、この概念はアーベル群の圏（Z-加群の圏）における移入包絡である。アーベル群が被約 (reduced) とは、その可除部分群が {0} のみであることをいう。すべてのアーベル群は1つの可除部分群と1つの被約部分群の直和である。実は、任意の群には一意的な最大の可除部分群が存在して、この可除群は直和因子である。これは整数環

非可換整域

なるから、したがってそれ自身非可換な域を成す。 1 より大きい次数の行列環は零因子（特に冪零元）を持つから域を成さない。例えば、行列単位 E12 の自乗は零行列になる。 K 上のベクトル空間のテンソル代数（つまり体 K 上の非可換多項式環）K⟨x1, …, xn⟩ が域となることは、非可換単項式上の順序を用いて証明できる。

非可換幾何

数学における非可換幾何（ひかかんきか、noncommutative geometry）とは可換性が成り立たない（「積」について xy と yx が一致しない）ような代数構造に対する空間的・幾何学的な解釈を研究する分野である。通常の幾何学では様々な関数の積に関して可換

有限可換群上の調和解析

}{\bar {f}}(\chi )h(\chi )} と定める。このエルミート内積は ˆG 上の質量 1/g のハール測度に対応し、エルミート空間 ℓ2(G) の定義で導入されたエルミート内積は G 上の質量 1 のハール測度に対応していることに注意する。ここで ℓ2(ˆG) は線型空間 CˆG に上のエルミート内積を備えたものとする。

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